Trimiteţi propunerile dvs. de probleme şi articole pentru Gazeta Matematică
Părerea ta despre Gazetă va apărea pe prima pagină, alături de opiniile marilor nume ale matematicii româneşti.
Demonstratie:
Se stie ca polinomul
X3-Tr(A)X2+Tr(A*)X-det(A)
are ca radacini valorile proprii ale matricei A.
(in plus, A verifica ecuatia X3-Tr(A)X2+Tr(A*)X-det(A)=0).
Fie a,b,c valorile proprii ale matricei A.
Din relatiile lui Viete rezulta ca
a+b+c=Tr(A)
ab+ac+bc=Tr(A*) si
abc=det(A).
Relatie din ipoteza este echivalenta cu (a+b+c)(ab+ac+bc)=abc, de unde rezulta ca (a+b)(a+c)(b+c)=0.
Deci, a=-b. (Celelalte cazuri sun identice).
atunci (a+b+c)n=an+bn+cn=cn oricare n impar.
Cum (a+b+c)n=Trn(A) si an+bn+cn=Tr(An), rezulta concluzia.
(Valorile proprii ale matricei An sunt an , bn, si cn).